LAGRANGE TEKNİĞİ

Optimum tüketim bileşimini matematiksel olarak belirlerkentüketicinin iki mal tükettiğini varsayalım.

Tüketicinin sorunu; harcama ve fiyat kısıtları altında kendisine en çok faydayı sağlayacak mal bileşimini belirlemektir. Dolayısıyla,tüketicinin amacı elde edeceği faydayı en çoğa çıkarmak, yani maksimize etmektir. Ancak tüketici bu amacına ulaşırken belli kısıtlara tabidir. Tüketicinin bu karşı karşıya kaldığı kısıtlar, belirli bir harcama tutarı için oluşturulmuş bütçe denklemini ifade eder.

I=P₀.q₀ + P₁.q₁

İşte bu tür sınırlı optimizasyon problemlerinin çözümünde ilk amaç fonksiyonu ve kısıtlayıcı unsurların birleştirilmesi ile oluşturulan birleşik fonksiyonu optimum hale getirmek için Lagrange çözümü/ tekniği kullanılır. Kısaca lagrange fonksiyonu;

• Amaç fonksiyonu ( fayda denklemi)
• Kısıt denklemi (sıfıra eşitlenecek bütçe denklemi)

bileşiminden oluşmaktadır.

Şimdi, iki mal bir tüketicinin optimum tüketim bileşimini belirlemek amacıyla lagrange fonksiyonu(L) oluşturalım;

Amaç fonksiyonu                        : U = f ( q₀ , q₁ )

Kısıt denklemi                             :  I=P₀.q₀ + P₁.q₁

(1. Aşama) Sıfıra eşitlenmiş kısıt denklemi  : I – P₀.q₀ – P₁.q₁ = 0

(2. Aşama) : λ (I – P₀.q₀ – P₁.q₁)=0            λ→Lagrange çarpanı

(3. Aşama) :      L = f ( q₀ , q₁ )+λ (I – P₀.q₀ – P₁.q₁)

Amaç, faydayı maksimize etmek olduğuna göre yapılacak iş, lagrange fonksiyonunu maksimum eden (q₀ , q₁) değerleri araştırmaktır. Bunun için öncelikle lagrange fonksiyonunun her bir değişkenine göre türev alınmalı ve türevler 0’a eşitlenmelidir.

(4. Aşama) = – λP₀ = MU₀ – λP₀ = 0 → λ=

= – λP₁ = MU₁ – λP₁ = 0 → λ=

= I – P₀.q₀ – P₁.q₁=0

Tüketicinin satın aldığı bir mal bileşiminin optimum olabilmesi için, her bir malın marjinal faydasının onun fiyatına olan oranı; bütün mallar itibariyle, birbirine eşit olmalıdır. Bu kural iktisatta, İkinci Gossen dağılımı (Eş Marjinal Fayda Kanunu) olarak adlandırılır.

== λ

Bu eşitlik marjinal ikame oranına da eşittir. Yani

MİİO =   = = λ

şeklinde yazılırsa kayıtsızlık eğrisi ile bütçe doğrularının eğimlerinin birbirine eşit olduğu denge noktasını da ifade etmektedir.

KONUYLA İLGİLİ ÖRNEK PROBLEMLER

Problem 1: Herhangi bir şahsın fayda fonksiyonu U= x₁.x₂ şeklinde verilmiştir. Bu şahıs g₁ ve g₂ gibi iki tane mal almak isterse sırasıyla g₁ malının fiyatı 2 dolar, g₂ malının fiyatı 10 dolar ise bu kişinin harcayabileceği para 400 dolar olduğuna göre faydasını maksimum etmek için tüketebileceği x₁ ve x₂ malının fiyatını bulunuz.

Çözüm 2: Öncelikle bütçe denklemimizi oluşturalım,

2x₁ + 10x₂ = 400 → 400–2x₁ – 10x₂ = 0

Lagrange denklemini yazalım,

L = f ( q₀ , q₁ )+λ (I – P₀.q₀ – P₁.q₁)

L = x₁.x₂ + λ (400–2x₁ – 10x₂)

Şimdi kısmi türevleri alıp 0’a eşitleyelim,

x₁’e göre türevi    →       =  x₂– 2λ = 0 →  x₂ = 2λ

x₂’ ye göre türevi →      = x₁-10λ=0   →  x₁=10λ

λ’ ya göre türevi  →    = 400–2x₁ – 10x₂=0

Sınırlayıcı fonksiyonda x₁’ i x₂ cinsinden yazalım;

400 – 2(5x₂) – 10x₂ = 0 → 10x₂ + 10x₂ = 0

x₂=20 , x₁= 100

Problem 2: Fayda fonksiyonu U=q₁q₂² biçiminde olan bir tüketici, piyasa fiyatları, sırasıyla P₁=4 TL ve P₂=5 TL olan mallara toplam olarak C= 420 TL harcayacaktır. Maksimum faydayı elde edebilmesi için tüketici, malların her birinden kaç birim satın almalıdır?

Çözüm 2: Öncelikle bütçe denklemimizi oluşturalım,

4q₁ + 5q₂ = 420 → 420 – 4q₁ – 5q₂ =0

Lagrange denklemini yazalım,

L = f ( q₀ , q₁ )+λ (I – P₀.q₀ – P₁.q₁)

L = q₁.q₂² + λ (420 – 4q₁ – 5q₂)

Şimdi kısmi türevleri alıp 0’a eşitleyelim,

q₁’e göre türevi     →      =  q₂²– 4λ = 0      → λ = 0,25 q₂²

q₂’ ye göre türevi  →      = 2q₁.q₂ – 5λ = 0 →  λ = 0,4q₁.q₂

λ’ ya göre türevi  →   = 420 – 4q₁ – 5q₂ = 0

0,25 q₂² = 0,4q₁.q₂ → q₂ =1,6q₁

Sınırlayıcı fonksiyonda q₂’ yi q₁ cinsinden yazalım;

420 – 4q₁ – 5(1,6q₁) = 0 → 12 q₁= 420

q₁=35 birim,  q₂=56 birim

Problem 3: Bir tüketicinin, fayda fonksiyonu U=q₁ + 2q₂ + q₁.q₂ + 4 ve bütçe denklemi 25= 2,5 q₁ + 5 q₂’ dir. Lagrange yardımıylatüketicinin faydasını makimize eden mal bileşimini bulunuz?

Çözüm 3:

25= 2,5q₁ + 5q₂ →  25 – 2,5q₁ – 5q₂ = 0

Lagrange denklemini yazalım,

L = q₁ + 2q₂ + q₁.q₂ + 4 + λ (25 – 2,5q₁ – 5q₂)

q₁’e göre türevi     →      = q₂ – 2,5 λ →q₂= 2,5 λ

q₂’ ye göre türevi  →      =2 + q₁– 5 λ → q₁= 5 λ -2

λ’ ya göre türevi  →   =25 – 2,5q₁ – 5q₂ =0

q₁= 5 λ – 2 ve q₂= 2,5 λ  ise q₁= 2q₂ – 2 eder.

Sınırlayıcı fonksiyonda q₁’i q₂ cinsinden yazalım;

25 = 2,5(2q₂ – 2) + 5q₂ →   10 q₂ = 30

q₂=3br ve q₁=4br

KAynak: Ahmet Turkut, Gaziosmanpaşa Üniversitesi, İktisat

KAYNAKÇA

Bulmuş, İ., (2008), Çözümlü Mikro İktisat Problemleri, Okutman yayıncılık, Ankara

Yaylalı, M., (2004), Mikro İktisat, Beta Yayım – Satım, Erzurum